Aarne Puu w latach 1971-73 studiował psychologię i filologię rosyjską na Uniwersytecie w Tartu. W roku 1979 ukończył teatrologię na Uniwersytecie Jagiellońskim. Od 1973 roku mieszka w Krakowie, po ukończeniu studiów pracował jako freelancer, a w latach 1996-2020 nauczał języka estońskiego na Uniwersytecie Jagiellońskim.
Poeta, tłumacz literatury polskiej i estońskiej; na język estoński przełożył m. in. powieści S. Lema:„ Solaris” i „Eden”, książkę A. Sapkowskiego: „Ostatnie życzenie”, oprócz tego książki dla dzieci A. Bahdaja, W. Chotomskiej. Na język polski przetłumaczył poezję J. Kaplinskiego, P.-E. Rummo, A. Alliksaara oraz prozę Fr. Tuglasa, A. Valtona, M. Unta, V. Vahinga i innych.
Tworzy w języku polskim i estońskim. Wydał kilka tomików poezji m.in. „Jezioro mojej pamięci” (Kraków 1989), za który otrzymał nagrodę im. Andrzeja Bursy, „Ring on nii pikk” (Krąg jest tak długi, Tallinn 1990), „Inny wybór” (Kraków 1998), „Sajandi väsimus” (Zmęczenie stuleciem, Tallinn 2002), „Kręgi pamięci” (Kraków 2007) oraz „Ma elan ruumis (Mieszkam w przestrzeni, Tallinn 2020).