Ks. inf. Adam Drwięga święcenia kapłańskie przyjął 23 czerwca 1963 roku we Wrocławiu. W latach 1985-2014 pełnił funkcję proboszcza archikatedry wrocławskiej im. św. Jana Chrzciciela we Wrocławiu. Po odejściu na emeryturę był rezydentem w parafii katedralnej.
Był protonotariuszem apostolskim, kanonikiem honorowym Kapituły Kolegiackiej Świętego Krzyża, kapelanem Dolnośląski Państwowej Straży Pożarnej i duszpasterzem rzemieślników.